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L'uso degli O-piccoli

Il cestino della spazzatura matematico. Impara a usare la notazione $o(x^n)$ per ignorare tutto ciò che è trascurabile e risolvere i limiti più complessi.

Cos'è un o-piccolo?

Nella lezione precedente abbiamo visto che la Serie di Taylor va avanti all'infinito. Ma quando calcoliamo un limite, ci fermiamo quasi sempre ai primi termini (grado 2 o 3). Tutti gli infiniti termini che lasciamo fuori dalla formula sono l'errore di approssimazione.

Invece di scriverli tutti o scrivere "+ ...", i matematici mettono tutti questi scarti in un unico simbolo: $o(x^n)$ . Si legge "o-piccolo di x alla n" e significa letteralmente: "roba che va a zero molto più velocemente di $x^n$ ".

La Definizione Formale

Diciamo che una funzione $f(x)$ è un o-piccolo di $g(x)$ per $x \to 0$ se il loro rapporto tende a zero. Cioè, il numeratore si schiaccia così in fretta che distrugge il denominatore.

f(x) = o(g(x)) \iff \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0

🗑️Taylor compatto:

\sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)

Tutto ciò che c'è dopo il grado 3 è buttato nell'o-piccolo.

L'Algebra degli o-piccoli

Attenzione: gli o-piccoli NON sono numeri! Sono "scatole" che contengono funzioni. Per questo motivo, l'algebra normale non funziona con loro. C'è una vera e propria tabellina di regole contro-intuitive che devi imparare.

Somma e Sottrazione

Due scatole di spazzatura sommate o sottratte generano solo un'altra scatola di spazzatura. NON si annullano mai!

o(x^n) \pm o(x^n) = o(x^n)

Mai scrivere $o(x^2) - o(x^2) = 0$ !

Dominio del più debole

Se sommi due o-piccoli di grado diverso, "vince" sempre quello col grado più piccolo (che contiene l'errore più grande).

o(x^2) + o(x^4) = o(x^2)

Moltiplicazione per monomio

Se moltiplichi un monomio per la scatola, il monomio "entra" e si somma agli esponenti.

x^m \cdot o(x^n) = o(x^{n+m})

Es: $x^2 \cdot o(x^3) = o(x^5)$

Potenze

Elevare a potenza una scatola fa moltiplicare gli esponenti.

(o(x^n))^m = o(x^{n \cdot m})

Es: $(o(x^2))^3 = o(x^6)$

Perché si usano nei Limiti?

All'esame, i prof inseriscono nei limiti funzioni come $\sin(x) - x$ . Se applichi i limiti notevoli ottieni $x - x = 0$ . Hai perso le informazioni e il limite viene $0/0$ . De L'Hôpital? Spesso ci vogliono 4 derivate prima di sbloccarsi.Qui entra in gioco Taylor con l'o-piccolo.

Esempio d'esame

\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x) - x}{x^3}

1. Sviluppo Taylor del numeratoreSviluppiamo $\sin(x)$ fino al grado del denominatore (grado 3):
$\sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$
2. Sostituisco nel limite $\frac{ \left( x - \frac{x^3}{6} + o(x^3) \right) - x }{x^3}$
3. Risoluzione magicaLe $x$ si annullano ( $x - x = 0$ ). Rimane $\frac{-x^3/6 + o(x^3)}{x^3}$ .
Dividendo per $x^3$ si ottiene $-1/6 + o(1)$ . E poiché l'o-piccolo tende a zero, il risultato esatto del limite è $-1/6$ . In due passaggi, senza derivate infinite!

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