Edu/Analisi 1/Serie

Taylor e Maclaurin

L'arte del travestimento matematico. Come trasformare funzioni difficili (seni, coseni, esponenziali) in docili e facilissimi polinomi.

L'Idea Geniale: Il Polinomio "Sosio"

I polinomi (come $3x^2 + 2x - 1$ ) sono le funzioni più facili del mondo: si derivano in un secondo e si integrano a occhi chiusi. Le funzioni trascendenti (come $\sin(x)$ o $e^x$ ) sono invece complicate.

Brook Taylor ebbe un'intuizione folle: è possibile creare un polinomio che assomigli in modo quasi perfetto a una funzione curva attorno a un punto specifico? Sì, basta copiare la sua altezza, la sua pendenza (derivata prima), la sua curvatura (derivata seconda) e così via!

L'Avvolgimento Perfetto

Guarda l'onda del Seno (grigia). Se prendiamo un polinomio di grado 1 (la retta arancione), l'approssimazione fa schifo, vale solo nell'origine. Ma se prendiamo un polinomio di grado 3 (verde), la curva inizia ad "avvolgersi" perfettamente attorno all'onda per un bel pezzo! Più termini aggiungi, più il polinomio diventerà identico alla funzione originale.

La Formula Costruttiva

Come si costruisce questo polinomio magico centrato in un punto $x_0$ ? Derivando ripetutamente la funzione originale e dividendo per il fattoriale. Ecco la formula della Serie di Taylor:

f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \frac{f'''(x_0)}{3!}(x - x_0)^3 + \dots

La Serie di Maclaurin

Maclaurin non è altro che il caso specifico (e di gran lunga il più usato negli esercizi) in cui il polinomio viene centrato esattamente nell'origine: $x_0 = 0$ . La formula diventa molto più "pulita" perché tutti gli $(x - x_0)$ diventano semplicemente $x$ .

f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots

Gli Sviluppi Notevoli

All'esame non avrai il tempo di calcolarti le derivate fino al quinto grado per ogni funzione. Devi imparare a memoria gli sviluppi di Maclaurin delle funzioni fondamentali. Questa tabella ti salverà nei calcoli dei limiti.

Funzione	Sviluppo di Maclaurin (fino a 5 termini)
$e^x$	$1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots$
$\sin(x)$	$x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots$ Solo potenze DISPARI, a segno alterno.
$\cos(x)$	$1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots$ Solo potenze PARI, a segno alterno.
$\ln(1+x)$	$x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots$ Senza fattoriali! A segno alterno.
$\frac{1}{1-x}$	$1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + \dots$

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