Edu/Analisi 1/Funzioni

Segno e Intersezioni

Scopri dove la funzione incrocia gli assi cartesiani e impara a costruire la tabella dei segni per capire se il grafico vola in alto o scende in basso.

1Le Intersezioni con gli Assi

Dopo aver calcolato il Dominio, il secondo passo per disegnare il grafico di una funzione è trovare i suoi "punti di ancoraggio", ovvero i punti esatti in cui la curva buca l'asse orizzontale ( $x$ ) o l'asse verticale ( $y$ ).

Intersezione con l'asse Y

L'asse verticale è formato da tutti i punti che hanno ascissa uguale a zero. Per trovare dove la funzione lo attraversa, basta sostituire lo zero al posto della $x$ .

\begin{cases} y = f(x) \\ x = 0 \end{cases} \implies y = f(0)

⚠️ Attenzione: si può calcolare SOLO se $0$ appartiene al Dominio della funzione!

Intersezione con l'asse X (Zeri)

L'asse orizzontale è formato da tutti i punti ad "altezza zero". Per trovare dove la funzione lo taglia, dobbiamo imporre che il risultato della funzione sia zero.

\begin{cases} y = f(x) \\ y = 0 \end{cases} \implies f(x) = 0

Risolvendo questa equazione troveremo gli "zeri" della funzione.

2Lo Studio del Segno (Positività)

Sapere dove la curva passa per lo zero è utile, ma non basta. Dobbiamo scoprire in quali zone la funzione "vola" sopra l'asse delle $x$ (valori positivi) e in quali "annega" sotto l'asse (valori negativi).

Per farlo, si imposta e si risolve la disequazione principale:

f(x) > 0

✓Gli intervalli in cui la disequazione è verificata indicano che il grafico si trova sopra l'asse x.
✗Negli altri intervalli (esclusi gli zeri e i punti fuori dominio), il grafico si troverà obbligatoriamente sotto l'asse x.

Significato Geometrico

Nello studio di funzione, le aree sbarrate indicano le zone del piano in cui il grafico non può passare.

3La Tabella dei Segni (Esempio)

Molte funzioni sono composte da frazioni. In questi casi, dobbiamo studiare separatamente il segno del Numeratore (N) e del Denominatore (D), per poi incrociarli nella tabella dei segni.

f(x) = \frac{x - 3}{x + 1} > 0

1. Studio i singoli pezzi

Numeratore (N) $N > 0 \implies x - 3 > 0 \implies x > 3$
Denominatore (D) $D > 0 \implies x + 1 > 0 \implies x > -1$

Nota: Il punto $-1$ è escluso dal Dominio (annulla il denominatore), quindi sul grafico finale sarà un asintoto verticale o un "buco".

Tabella (Linea dei Segni)

Lezione Precedente← Calcolo del Dominio Prossima LezioneSimmetrie (Pari e Dispari)→

Strumento Pratico

Vuoi calcolare il segno in automatico?

Inserisci la tua funzione nel nostro Studio di Funzione IA: ti calcolerà dominio, intersezioni con gli assi e risolverà la disequazione della positività in un click.

Apri il Calcolatore

Algebra