Edu/Analisi 1/Funzioni

Cos'è una Funzione?

Il concetto fondamentale di tutta l'Analisi Matematica. Dalla definizione rigorosa alla differenza tra codominio e immagine, con esempi pratici.

Alla base della matematica moderna c'è l'esigenza di descrivere come due grandezze dipendano l'una dall'altra. Una funzione è una legge di associazione che stabilisce un legame rigoroso tra due insiemi di valori.

Possiamo immaginarla come un meccanismo di trasformazione: fornito un valore di partenza, la funzione applica una serie di operazioni per restituire un risultato univoco.

La notazione analitica

y = f(x)

Si legge: " $y$ è funzione di $x$ "

Un Esempio: La Parabola

Prendiamo la funzione quadratica base. Questa legge matematica ci dice: "dammi un numero ( $x$ ), io lo moltiplico per se stesso e ti restituisco il risultato ( $y$ )".

f(x) = x^2

1La Definizione Rigorosa

In sede d'esame, una funzione non viene descritta come una semplice equazione, ma in termini insiemistici. Questo perché non tutte le relazioni matematiche sono funzioni.

Definizione Insiemistica

Dati due insiemi non vuoti $A$ e $B$ , si definisce funzione da $A$ a $B$ una relazione che associa a ogni elemento dell'insieme $A$ , uno e un solo elemento dell'insieme $B$ .

f: A \to B

1. Totalità

Tutti gli elementi dell'insieme di partenza devono essere utilizzati (devono avere un risultato). Non possono esserci "x" senza una corrispondente "y".

2. Univocità

Ad una singola $x$ deve corrispondere un solo risultato $y$ . Se a una x corrispondessero due altezze diverse sul grafico (es. una circonferenza), non sarebbe una funzione.

2Dominio, Codominio e Immagine

L'errore più comune agli esami di Analisi 1 è confondere il Codominio con l'Immagine. Facciamo chiarezza sui tre insiemi fondamentali:

1. Il Dominio

È l'insieme di tutti i valori della $x$ per i quali l'espressione ha senso matematico. Noto anche come Campo di Esistenza (C.E.). Ad esempio, non possiamo dividere per zero.

2. Il Codominio

È l'insieme "di arrivo" teorico dichiarato dalla funzione (solitamente tutto l'asse $\mathbb{R}$ ). È il grande contenitore delle possibili risposte.

3. L'Immagine

È l'insieme dei valori $y$ che la funzione effettivamente assume (i veri risultati). Se $f(x) = x^2$ , l'immagine è formata solo dai numeri positivi, perché un quadrato non è mai negativo.

3Proprietà delle Funzioni

A seconda di come le "frecce" collegano il Dominio al Codominio, una funzione può avere delle proprietà speciali. È fondamentale riconoscerle, soprattutto per capire se una funzione può essere "invertita".

Iniettiva

Elementi diversi del dominio puntano a elementi diversi del codominio. In altre parole, nessuna $y$ viene colpita da più di una $x$ .

x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2)

Test grafico: Ogni linea orizzontale incrocia il grafico al massimo in un punto.

Suriettiva

Tutti gli elementi del codominio vengono colpiti da almeno una $x$ . Nessun valore di arrivo rimane "scoperto". In questo caso, il Codominio coincide perfettamente con l'Immagine.

\forall y \in B, \exists x \in A : f(x) = y

Test grafico: Ogni linea orizzontale incrocia il grafico in almeno un punto.

Biettiva (o Biunivoca)

È il caso perfetto: la funzione è contemporaneamente Iniettiva e Suriettiva. Ogni elemento di partenza è collegato a uno e un solo elemento di arrivo, senza lasciare buchi o doppioni.

Iniettiva + Suriettiva

👑 Solo le funzioni biettive possono essere invertite!

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