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Il Grafico Completo

Il capolavoro finale dello studio di funzione. Impara l'algoritmo, clicca sui passaggi e osserva come si costruisce il disegno.

La mappa del tesoro

In questa guida nomineremo strumenti come Limiti, Derivata Prima e Seconda. Se non li hai ancora studiati nel dettaglio, non preoccuparti: concentrati sulla logica con cui si incastrano le informazioni per costruire il grafico.

L'Algoritmo (Clicca per scendere)

Ecco la scaletta investigativa universale. Ognuno di questi 8 step ti fornisce un indizio geometrico da inserire sul piano cartesiano.

Dominio (C.E.)

Trova i "muri" invalicabili e le X vietate.

Simmetrie

Testa $f(-x)$ per dimezzare il lavoro.

Intersezioni

I punti esatti in cui buchi gli assi.

Studio Segno

Cancella le zone in cui non puoi passare.

Asintoti

Calcola i limiti agli estremi del dominio.

Derivata Prima

Trova dove sale, scende, Massimi e Minimi.

Derivata Seconda

Trova la concavità (felice/triste) e i flessi.

Tracciamento

Unisci tutti i puntini col pennarello.

Esercizio Guidato (Livello Universitario)

Costruiamo il Grafico

f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 1}

1. Dominio & 2. Simmetrie

1. Dominio (C.E.)

Il denominatore deve essere diverso da zero:

x^2 - 1 \neq 0 \implies x \neq \pm 1

Abbiamo ben due "muri" vietati: $-1$ e $+1$ .

2. Simmetrie

Calcoliamo $f(-x)$ sostituendo $-x$ :

f(-x) = \frac{(-x)^2}{(-x)^2 - 1} = \frac{x^2}{x^2 - 1} = f(x)

La funzione è PARI! È speculare rispetto all'asse Y.

✍️ Sul foglio: Disegniamo due linee tratteggiate verticali in corrispondenza di

x=-1

x=1

. Lì il grafico non passerà mai.

3. Intersezioni & 4. Segno

3. Intersezioni

Ponendo $x=0$ e $y=0$ , il numeratore $x^2$ si annulla. L'unico punto di contatto è l'Origine $(0,0)$ .

4. Segno ( $f(x) > 0$ )

Numeratore: $x^2 \ge 0$ (Sempre tranne 0).

Denominatore: $x^2 - 1 > 0 \implies x < -1 \lor x > 1$ .

La funzione è Positiva all'esterno dei muri, ed è Negativa all'interno (tra -1 e 1).

✍️ Sul foglio: Mettiamo un pallino in

(0,0)

. Cancelliamo la zona sotto per

|x| > 1

e la zona sopra per

|x| < 1

5. Limiti e Asintoti

Asintoti Verticali

Calcoliamo il limite vicino ai "muri" ( $\pm 1$ ):

\lim_{x \to 1^\pm} \frac{x^2}{x^2 - 1} = \frac{1}{0^\pm} = \pm \infty

Le rette $x = 1$ e $x = -1$ sono Asintoti Verticali.

Asintoti Orizzontali

Andiamo a vedere cosa succede all'infinito:

\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{x^2 - 1} = 1

La retta $y = 1$ è un Asintoto Orizzontale.

✍️ Sul foglio: Disegniamo una retta orizzontale tratteggiata in

y=1

. La funzione vi si appoggerà ai due estremi laterali.

6. & 7. Derivate

6. Crescenza e Max/Min

La Derivata Prima si azzera nell'origine. Studiando $f'(x) > 0$ :

f'(x) = \frac{-2x}{(x^2-1)^2} > 0 \implies x < 0

Sale a sinistra dell'asse Y, scende a destra. L'origine $(0,0)$ è un Massimo Relativo.

7. Concavità

Calcoliamo la Derivata Seconda e studiamone il segno:

f''(x) = \frac{6x^2 + 2}{(x^2-1)^3} > 0

Il numeratore è sempre positivo. La curva "sorride" (convessa) per le parti esterne ( $|x| > 1$ ) ed è "triste" (concava) in centro.

✍️ Sul foglio: Il nostro pallino nell'origine è confermato come il "tetto" della curva centrale (Massimo, curva triste).

Il Risultato

Ora uniamo tutti gli indizi.

1.
La curva centrale parte da $-\infty$ , sale fino al tetto in $(0,0)$ e scende di nuovo a $-\infty$ , il tutto senza uscire dalla zona bianca (concavità triste).
2.
I due rami esterni "scendono" da $+\infty$ attaccati ai muri rossi, e man mano che vanno verso l'esterno si adagiano morbidamente sull'asintoto blu $y=1$ (concavità felice).

Missione Compiuta.

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