Composte e Inverse

Scopri come incastrare due funzioni come una matrioska e come "tornare indietro" calcolando la funzione inversa.

1La Funzione Composta

Immagina di avere due "macchine" matematiche. Invece di usarle separatamente, prendi il risultato che esce dalla prima macchina e lo infili direttamente dentro la seconda. Hai appena creato una Funzione Composta (o "funzione di funzione").

(f \circ g)(x) = f(g(x))

Si legge " $f$ composto $g$ ". Attenzione all'ordine: l'operazione si esegue dall'interno verso l'esterno! Prima la $x$ entra in $g$ , poi il risultato $g(x)$ entra in $f$ .

Il Flusso della Composizione

Esempio Pratico

Siano date due funzioni:

$f(x) = \sin(x)$
$g(x) = x^2 + 1$

Componiamo $f(g(x))$ :

f(x^2 + 1) = \sin(x^2 + 1)

Nota: $g(f(x))$ sarebbe diverso! Sarebbe $(\sin(x))^2 + 1$ .

2La Funzione Inversa

Se una funzione trasforma la $x$ in $y$ , esiste una funzione che fa il percorso opposto? Una macchina che prende la $y$ e ci restituisce la $x$ originale? Sì, e si chiama Funzione Inversa $f^{-1}$ .

Condizione Necessaria

Una funzione ammette l'inversa (è "invertibile") solo se è Biunivoca, ovvero sia Iniettiva (a ogni $y$ corrisponde una sola $x$ ) che Suriettiva. Se una $y$ provenisse da due $x$ diverse (come nella parabola), tornando indietro non sapremmo quale strada prendere!

Come si calcola in pratica?

1
Scrivi l'equazione
Parti dall'equazione originale $y = f(x)$ .
2
Isola la X
Usa l'algebra per portare la $x$ da sola a sinistra dell'uguale.
3
Scambia le lettere
Sostituisci tutte le $y$ con $x$ e viceversa. Hai trovato $f^{-1}(x)$ !

Esempio Passo-Passo

y = 2x - 4

↓ Isolo il termine con x ↓

2x = y + 4

↓ Divido per 2 ↓

x = \frac{y + 4}{2}

↓ Scambio le lettere ↓

y = \frac{x + 4}{2}

3La Magia Grafica (Esponenziale e Logaritmo)

Geometricamente, una funzione e la sua inversa hanno una particolarità bellissima: i loro grafici sono perfettamente simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante ( $y = x$ ).

L'esempio più celebre in Analisi 1 è la coppia formata dalla funzione Esponenziale ( $e^x$ ) e dal Logaritmo naturale ( $\ln(x)$ ). Sono l'una l'inversa dell'altra!

L'esponenziale ha dominio $\mathbb{R}$ e immagine $(0, +\infty)$ .
Il logaritmo fa l'esatto opposto: ha dominio $(0, +\infty)$ e immagine $\mathbb{R}$ .

Simmetria Rispetto a y=x

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