In Analisi 1 l'integrale definito ∫ f(x) dx ti permetteva di calcolare l'Area compresa tra la curva e l'asse orizzontale. In Analisi 2, abbiamo una montagna tridimensionale f(x,y). L'Integrale Doppio, indicato col simbolo ∫∫, calcola il Volume dello spazio pieno compreso tra il pavimento (il piano xy) e il "soffitto" (la superficie della funzione).
Il Pavimento (I Domini)
La vera difficoltà degli integrali doppi non è mai la funzione da integrare, ma la base su cui poggia l'edificio (il Dominio di integrazione, indicato con la lettera D).
Volume = ∫∫_D f(x,y) dx dy
In Analisi 1, il dominio era facile: "parti dal numero A e arriva al numero B" (es. da 2 a 5). Su un pavimento 2D, l'area di partenza può avere forme stranissime: rettangoli, cerchi, spicchi, o forme irregolari chiuse tra curve!
Per dire al computer matematico "calcola il volume solo sopra a questa specifica piastrella del pavimento", dobbiamo trasformare la figura geometrica del dominio in disequazioni matematiche. Questo processo si chiama Normalizzazione del Dominio.
I Domini Normali
I matematici hanno inventato due "gabbie" standard per intrappolare l'area sul pavimento: i domini X-Semplici e i domini Y-Semplici.
Dominio X-Semplice
Si usa quando l'area è racchiusa a sinistra e a destra da due numeri fissi verticali, mentre sopra e sotto è schiacciata da due funzioni.
- a ≤ x ≤ b (Numeri fissi)
- g(x) ≤ y ≤ h(x) (Curve)
Dominio Y-Semplice
Si usa quando l'area è racchiusa in basso e in alto da due numeri fissi orizzontali, mentre a sinistra e a destra è schiacciata da due funzioni.
- c ≤ y ≤ d (Numeri fissi)
- p(y) ≤ x ≤ q(y) (Curve)
Il Calcolo: Teorema di Fubini
Una volta costruita la gabbia, come si esegue materialmente il calcolo? Si usa il Teorema di Fubini (o degli integrali iterati). L'idea è geniale: dividere il grande integrale doppio in due integrali singoli fatti uno dentro l'altro, partendo da quello più interno.
La regola d'oro degli Integrali Iterati
- 1Il Cuore Interno: Calcoli prima l'integrale dentro le parentesi quadre rispetto a y. Durante questo passaggio, fai finta che la x sia un numero fisso (proprio come facevi con le derivate parziali!). Questo integrale avrà come estremi le funzioni curva.
- 2Il Guscio Esterno: Svolto il cuore, tutte le y scompariranno. Ti rimarrà un normale integrale di Analisi 1 che contiene solo x. L'integrale esterno DEVE SEMPRE AVERE NUMERI PURI come estremi (es. da 2 a 5). Se ti ritrovi una lettera nell'integrale esterno, hai sbagliato a costruire la gabbia!