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Edu/Analisi 1/Limiti

La Ricerca degli Asintoti

Il gran finale della teoria sui limiti. Impara a trovare i "muri invisibili" e le "linee guida" a cui la funzione si appoggia all'infinito.

Un asintoto è una retta (verticale, orizzontale o obliqua) alla quale il grafico della funzione si avvicina sempre di più, senza mai toccarla (o toccandola solo all'infinito).

Trovare gli asintoti è fondamentale perché costituiscono lo "scheletro" su cui andrai a disegnare la tua funzione. Per trovarli, useremo tutto l'arsenale dei limiti che abbiamo costruito finora.

1

Asintoto Verticale

Il "muro invalicabile". Si cerca nei punti esclusi dal Dominio (i "buchi" del Campo di Esistenza) o agli estremi del dominio stesso.

Se calcolando il limite per xx che tende a un numero finito x0x_0 il risultato esplode a infinito, hai trovato l'asintoto.

Condizione
lim⁡x→x0f(x)=±∞\lim_{x \to x_0} f(x) = \pm\infty

Equazione Asintoto: x = x_0

x = x₀
2

Asintoto Orizzontale

Il "pavimento" (o soffitto). Ci dice come si comporta la funzione quando va all'infinito. Si cerca calcolando il limite per x→+∞x \to +\infty e x→−∞x \to -\infty.

Se andando all'infinito il risultato si "schiaccia" su un numero finito LL, hai trovato l'asintoto orizzontale.

Condizione
lim⁡x→±∞f(x)=L\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L

Equazione Asintoto: y = L

Nota bene: Se trovi un asintoto orizzontale (es. a +∞+\infty), è inutile cercare l'asintoto obliquo da quella stessa parte! Si escludono a vicenda.
y = L
3

Asintoto Obliquo

Se il limite all'infinito fa infinito (cioè lim⁡x→∞f(x)=∞\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty), la funzione non ha un asintoto orizzontale. Tuttavia, potrebbe crescere seguendo una "rampa" inclinata. Quella rampa è l'Asintoto Obliquo, una retta di equazione y=mx+qy = mx + q.

Step 1: Trovare "m" (pendenza)

Dividi la funzione per xx e calcola il limite all'infinito. Se il risultato è un numero finito e diverso da zero, vai allo Step 2.

m=lim⁡x→±∞f(x)xm = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}
Step 2: Trovare "q" (intercetta)

Sottrai dalla funzione il pezzo mxmx appena trovato e ricalcola il limite. Se fa un numero finito, l'asintoto esiste!

q=lim⁡x→±∞[f(x)−mx]q = \lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - mx]
💡Trucco per i polinomi: Nelle funzioni razionali fratte (polinomio fratto polinomio), l'asintoto obliquo esiste SOLO SE il grado del numeratore supera esattamente di $1$ il grado del denominatore.
y = mx + q
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