Fino ad ora abbiamo calcolato le aree in intervalli "tranquilli" e chiusi , usando il Teorema di Torricelli-Barrow. Ma cosa succede se proviamo a calcolare l'area fino a ? O se la funzione "esplode" verso l'alto (asintoto verticale) proprio in mezzo al nostro intervallo? Benvenuto nel mondo degli Integrali Impropri (o Generalizzati).
Prima Specie: Intervallo Illimitato
Questo caso si verifica quando uno (o entrambi) gli estremi di integrazione è infinito. Non possiamo semplicemente "sostituire" l'infinito nella formula di Barrow come fosse un numero. Dobbiamo aggirare il problema usando i Limiti.
Sostituisci l'infinito con una lettera (es. M). Calcola l'integrale definito "normale" tra ed , e solo alla fine fai tendere M all'infinito col limite.
Seconda Specie: Funzione Illimitata
L'intervallo è un numero finito tranquillissimo. Tuttavia, avvicinandosi a uno degli estremi (es. ), la funzione incontra un Asintoto Verticale ed esplode all'infinito! Anche qui usiamo il limite per avvicinarci "in punta di piedi" al muro invalicabile.
Se l'asintoto si trova in :
Ci fermiamo un istante () prima di sbattere contro l'asintoto, e poi facciamo rimpicciolire fino a zero.
I Tre Destini dell'Integrale
Una volta risolto il limite, il risultato ti dirà il "carattere" (o destino) del tuo integrale improprio. Ci sono solo 3 risultati possibili:
Convergente
Il limite restituisce un numero finito (L).
Significa che, sebbene la figura sia infinitamente lunga, si "schiaccia" così in fretta che la sua area totale è misurabile!
Divergente
Il limite esplode a o .
La figura non si schiaccia abbastanza velocemente. Se provi a pitturarla, finirai la vernice perché l'area è letteralmente infinita.
Indeterminato
Il limite non esiste.
Tipico delle funzioni come o che oscillano all'infinito tra positivo e negativo senza mai decidere dove fermarsi.
Studia la Convergenza in un click.
Gli integrali impropri mescolano integrali e limiti. Se ti perdi nei calcoli, inserisci la funzione nel nostro strumento: l'Intelligenza Artificiale applicherà l'integrale definito, farà il limite per te e ti dirà se l'area Converge o Diverge.