Fino ad ora hai calcolato le derivate in modo meccanico. Ora le useremo come uno "scanner" per vedere la forma esatta della funzione. Ricorda la regola d'oro: la derivata è la pendenza. Se sai come cambia la pendenza, sai disegnare la curva!
Salite e Discese
Grazie al Corollario del Teorema di Lagrange (che abbiamo visto nella lezione sui Teoremi), sappiamo esattamente come tradurre il segno della derivata prima () nel comportamento della funzione di partenza ().
📈 Se
La pendenza è positiva. La funzione è Strettamente Crescente (va in salita).
📉 Se
La pendenza è negativa. La funzione è Strettamente Decrescente (va in discesa).
➖ Se
La pendenza è nulla. Sei in un Punto Stazionario (la tangente è orizzontale).
Classificare i Punti Stazionari
Abbiamo detto che quando abbiamo trovato un punto "piatto". Ma è una vetta, una valle, o cos'altro? Per scoprirlo, studia il segno della derivata prima prima e dopo il punto:
Punto di Massimo
Se la derivata passa da positiva a negativa (prima sale e poi scende), sei su una vetta.
Punto di Minimo
Se la derivata passa da negativa a positiva (prima scende e poi sale), sei in fondo a una valle.
Flesso a Tg Orizzontale
Se il segno non cambia (es. sale, si appiattisce, e continua a salire), non è né massimo né minimo!
L'Algoritmo Operativo per l'Esame
Calcola e azzera
Trova la derivata prima della tua funzione e risolvi l'equazione . I risultati che trovi sono le dei punti "sospetti" (i candidati a essere massimi o minimi).
Studia la disequazione
Non fermarti all'equazione! Risolvi la disequazione e disegna lo schemino con i segni e . Usa le freccette per indicare salita e discesa e scopri la vera natura dei tuoi punti sospetti.
Trova le coordinate Y
Hai trovato che c'è un massimo in ? Ottimo, ma per disegnarlo ti serve anche la quota! Prendi il e sostituiscilo nella funzione originale (non nella derivata!) per trovare la .
Studia la monotonia in un click.
Inserisci la funzione nel nostro Studio di Funzione. L'IA calcolerà la derivata prima, risolverà la disequazione e ti restituirà le coordinate esatte di Massimi e Minimi!