Disegnare a mano libera una superficie 3D come f(x,y) è un incubo. Per fortuna, esiste un trucco rubato direttamente dalla cartografia: le Curve di Livello (o Insiemi di Livello). Permettono di capire la forma tridimensionale di un oggetto guardandolo dall'alto su un piano piatto.
Affettare la Montagna
Immagina di avere davanti a te una collina (la tua funzione f(x,y)). Ora immagina di prendere una spada gigante e di tagliare la collina orizzontalmente, ad un'altezza precisa dal suolo (ad esempio a 10 metri di altezza).
La linea di taglio
Se guardi la collina tagliata dall'alto, vedrai il contorno del taglio. Quel contorno è una curva chiusa (in 2D). Tutti i punti che si trovano su quella curva hanno una cosa in comune: si trovano esattamente a 10 metri di altezza.
La Mappa Topografica
Se ripeti il taglio a 20 metri, poi a 30 metri, e disegni tutti questi contorni uno dentro l'altro sullo stesso foglio, ottieni una mappa topografica. Più le linee sono vicine tra loro, più la collina in quel punto è ripida!
Come si calcolano?
Tradurre questo concetto in matematica è facilissimo. Visto che vogliamo trovare i punti (x,y) in cui l'altezza (z) è uguale a un certo numero fisso, basta prendere la funzione e porla uguale a una costante "k".
f(x,y) = k
Dove "k" è il livello di altezza a cui stiamo affettando la funzione.
Facendo variare la k (mettendo ad esempio k=1, poi k=2, poi k=3), otterremo delle equazioni in due variabili (x e y). Queste equazioni, disegnate sul piano cartesiano, sono proprio le nostre curve di livello!
Esempio: Il Paraboloide
Prendiamo la funzione 3D più famosa di tutte, la "scodella" (il paraboloide ellittico):
Poniamo la funzione uguale a k:
x² + y² = k
Se k è un numero positivo (es. k=4), l'equazione diventa x² + y² = 4. Come sai dalla geometria analitica, questa è l'equazione di una Circonferenza centrata nell'origine con raggio uguale alla radice di k (in questo caso raggio 2).
Se tagliamo la "scodella" a varie altezze positive, i contorni che vediamo dall'alto sono dei cerchi concentricisempre più grandi man mano che saliamo di altezza! (Se k=0 otteniamo solo il punto di origine, se k < 0 non c'è nessuna curva perché la scodella non va sotto terra).