In Analisi 1, calcolare il limite per x → 0 significava avvicinarsi allo zero in due soli modi: da destra (0⁺) o da sinistra (0⁻). Se il risultato combaciava, il limite esisteva. In Analisi 2, dobbiamo avvicinarci a un punto (x,y) sul piano. E su un piano, puoi avvicinarti a un punto da infinite direzioni (dritto, in diagonale, facendo una curva, a spirale).
Dimostrare che il Limite NON esiste
La regola d'oro dell'Analisi 2 è questa: affinché un limite esista, il risultato deve essere identico da qualsiasi direzione tu provenga. Se trovi anche solo due direzioni (due "sentieri") che ti portano a risultati diversi, allora il limite globale non esiste!
Il Trucco delle Restrizioni
Quando sospetti che un limite per (x,y) → (0,0) non esista, prova ad avvicinarti all'origine percorrendo delle rette specifiche, ad esempio l'asse x, l'asse y, o la retta diagonale y = mx.
Esempio Pratico:
Vogliamo calcolare il limite di: f(x,y) = xy / (x² + y²) per (x,y) → (0,0).
- • Sentiero 1 (Asse x, poniamo y=0): La funzione diventa 0/x² = 0. Il limite fa 0.
- • Sentiero 2 (Diagonale, poniamo y=x): La funzione diventa x² / (x² + x²) = x² / 2x² = 1/2. Il limite fa 1/2.
Conclusione: Visto che 0 è diverso da 1/2, il limite NON ESISTE.
L'Arma Segreta: Le Coordinate Polari
Ma cosa succede se provi vari sentieri e il limite fa sempre lo stesso numero? Non puoi esultare: non puoi testare infiniti sentieri uno per uno! Per dimostrare che il limite esiste davvero, i matematici cambiano sistema di riferimento usando le Coordinate Polari.
La Traduzione
Invece di dire "vai avanti di x e sali di y", le coordinate polari dicono: "gira lo sguardo di un angolo θ (Theta) e cammina dritto per una distanza ρ (Rho)".
x = ρ · cos(θ)
y = ρ · sin(θ)
Come si calcola il limite?
Sostituisci tutte le x e le y della tua funzione con le nuove espressioni. A questo punto, per avvicinarti all'origine (0,0) ti basta fare un normale limite in 1D facendo tendere la distanza a zero: ρ → 0.
Condizione vitale: Il risultato del limite per ρ → 0 NON deve dipendere dall'angolo θ. Se scompare la θ, il limite esiste!
I Carabinieri e le Maggiorazioni
Spesso, dopo aver trasformato la funzione in coordinate polari, rimangono fastidiosi coseni o seni moltiplicati per ρ. Per dimostrare che il tutto tende a zero, si usa il Teorema dei Carabinieri (o metodo delle maggiorazioni).
Il trucco si basa su un principio fondamentale della trigonometria: il seno e il coseno di qualsiasi angolo non possono mai superare 1 o scendere sotto -1.
Valore assoluto: |cos(θ)| ≤ 1 e |sin(θ)| ≤ 1
Come si usa in pratica: Se ti trovi davanti a una roba tipo ρ² · |sin(θ)cos(θ)|, puoi dire che è sicuramente minore o uguale a ρ² · 1 · 1. Siccome ρ² tende a 0 (perché ci stiamo avvicinando all'origine), allora anche la tua funzione complicata è costretta (arrestata dai carabinieri!) ad andare a zero!