In Analisi 1 eri abituato a lavorare con f(x) = y. Inserivi un numero, la macchina faceva un calcolo, e ti sputava fuori un altro numero. Disegnando questi punti ottenevi una linea (una curva) su un foglio piatto. In Analisi 2, aggiungiamo una variabile.
Il Salto nel Vuoto: f(x,y)
Ora la nostra macchina ha bisogno di due ingredienti in ingresso: una coordinata x e una coordinata y. Il risultato del calcolo ci darà l'altezza z.
f(x,y) = z
Immagina la stanza in cui ti trovi. Il pavimento è il piano xy. Scegli un punto a caso sul pavimento (hai appena scelto la tua x e la tua y). Ora la funzione calcola l'altezza del soffitto in quel punto esatto (la tua z).
Se calcoli l'altezza per ogni singolo punto del pavimento, il "soffitto" che otterrai sarà una figura tridimensionale: potrebbe essere una cupola (paraboloide), una sella di cavallo, un piano inclinato o una catena montuosa piena di picchi e valli.
Il Dominio (La Mappa sul Pavimento)
In Analisi 1, il Dominio (C.E.) ti diceva in quali pezzi dell'asse x la funzione esisteva. Ora, il Dominio ti dice in quali zone del pavimento ha senso calcolare l'altezza del soffitto.
Le "regole d'oro" per trovare il dominio sono esattamente le stesse che hai imparato in Analisi 1:
1. Frazioni
Non puoi mai dividere per zero. Tutti i punti che azzerano il denominatore vanno esclusi dal pavimento.
2. Radici Pari
L'interno di una radice quadrata (o quarta) non può essere negativo nel mondo dei numeri reali.
3. Logaritmi
L'argomento di un logaritmo deve essere strettamente maggiore di zero.
Esempio Pratico (La Cupola)
Vediamo come si calcola e come si disegna il dominio di una funzione a due variabili molto famosa. Prendi questa funzione:
Abbiamo una radice quadrata. Dobbiamo imporre che l'argomento sia maggiore o uguale a zero:
1 - x² - y² ≥ 0
Spostiamo le incognite a destra per renderle positive:
x² + y² ≤ 1
L'equazione x² + y² = 1 è la formula di una circonferenza di raggio 1 centrata nell'origine (0,0). Poiché abbiamo il simbolo ≤ (minore o uguale), il nostro dominio è formato da tutti i punti che stanno all'interno di quel cerchio (inclusi i bordi).
Se provi a inserire coordinate fuori da quel cerchio (es. x=2, y=2), la radice diventa negativa e la calcolatrice dà Errore. Questo significa che la nostra "montagna" esiste solo sopra a quel cerchio. Nello specifico, questa funzione disegna la metà superiore di una Sfera!