Nella lezione precedente abbiamo visto come calcolare la pendenza muovendoci solo lungo l'asse X o solo lungo l'asse Y. Ma cosa succede se vogliamo camminare in diagonale? O se vogliamo sapere in che direzione dobbiamo girarci per affrontare la salita più faticosa in assoluto? La risposta è un vettore: il Gradiente.
La Definizione di Gradiente
Il Gradiente, indicato con il simbolo ∇f (che si legge "Nabla effe"), non è un numero, ma è un vettore bidimensionale. È semplicemente il "pacchetto" che contiene le due derivate parziali che hai già imparato a calcolare.
La Formula
∇f(x,y) = ( ∂f/∂x , ∂f/∂y )
La prima componente del vettore è la derivata rispetto a X. La seconda componente è la derivata rispetto a Y.
Il Gradiente ha una proprietà geometrica magica. Se ti trovi in un punto qualsiasi della montagna e guardi nella direzione indicata dalla freccia del vettore Gradiente, starai guardando verso la via di massima salita. La lunghezza (il modulo) di questa freccia ti dirà esattamente quanto è ripida quella salita.
Le Derivate Direzionali
Abbiamo detto che il Gradiente punta verso la salita più ripida. Ma se io volessi calcolare la pendenza camminando in una direzione a caso, per esempio verso Nord-Est? Qui entrano in gioco le Derivate Direzionali.
La Direzione (Il Versore v)
Per prima cosa devi scegliere la direzione in cui vuoi camminare. In matematica, una direzione pura si esprime con un versore: un piccolo vettore di lunghezza esattamente uguale a 1. Chiamiamolo v = (v₁, v₂).
Il Calcolo Magico
Se la funzione è differenziabile (cioè liscia e senza spigoli), non devi fare limiti strani per trovare la pendenza in quella direzione. Ti basta fare il Prodotto Scalare tra il Gradiente e il tuo versore!
Traduzione pratica del prodotto scalare: Prendi la derivata rispetto a X e moltiplicala per v₁. Prendi la derivata rispetto a Y e moltiplicala per v₂. Somma i due risultati. Il numero che ottieni è la pendenza esatta della montagna in quella specifica direzione!
Mettiamo tutto in pratica
Vediamo un esempio numerico. Immagina di essere sul punto P(1, 2) di questa collina parabolica:
- • Derivata in X (y è fissa): 2x
- • Derivata in Y (x è fissa): 6y
∇f(x,y) = (2x, 6y)
Sostituiamo x=1 e y=2 dentro il gradiente che abbiamo appena trovato:
∇f(1,2) = (2, 12)
Questa freccia vettoriale ci dice che, da dove siamo, la salita più ripida si trova andando avanti di 2 passi e a destra di 12 passi!