Immagina di essere in piedi sul fianco di una collina (la nostra superficie f(x,y)). Vuoi sapere quanto è ripida. Ma la risposta dipende da dove ti giri!
∂f / ∂xLa Derivata rispetto a X
È la pendenza che misuri se decidi di camminare esattamente in direzione dell'asse X, mantenendo ferma (bloccata) la tua posizione rispetto all'asse Y.
∂f / ∂yLa Derivata rispetto a Y
È la pendenza che misuri se decidi di camminare esattamente in direzione dell'asse Y, bloccando il tuo movimento lungo l'asse X.
Nota: Il simbolo "∂" si legge "de" (o "del") ed è il simbolo ufficiale della derivata parziale, per distinguerlo dalla "d" dritta della derivata totale di Analisi 1.
Il Trucco Mentale: Fai finta che sia un numero!
La cosa stupenda delle derivate parziali è che non devi imparare nessuna nuova formula di calcolo. Si usano le identiche regole delle derivate di Analisi 1, basta usare questo trucco psicologico:
...fai finta che tutte le y scritte nella funzione siano dei normali numeri (come 5, o 10). La x è l'unica vera incognita.
...fai finta che tutte le x scritte nella funzione siano dei numeri fissi. Questa volta, l'unica vera incognita è la y.
Esempi di Calcolo
Vediamo subito come applicare il trucco con una funzione mista. Prendi la funzione:
Calcoliamo ∂f / ∂x
La "y" è un numero. Analizziamo i tre blocchi della somma:
- • x³ ➔ È una normale potenza di x. La derivata è 3x².
- • 4xy² ➔ Qui (4y²) è solo un numero che moltiplica la x (immaginalo come "10x"). La derivata di un numero per x è il numero stesso, quindi 4y².
- • y⁵ ➔ Non c'è nessuna x! È una costante pura (un numero fisso). La derivata di una costante da sola è zero, quindi 0.
Risultato: ∂f / ∂x = 3x² + 4y²
Calcoliamo ∂f / ∂y
Ora è la "x" a essere un numero fisso:
- • x³ ➔ Non c'è nessuna y. È un numero fisso. La derivata è 0.
- • 4xy² ➔ Qui (4x) è il numero fisso che moltiplica la y². La derivata di y² è 2y. Moltiplichiamo il 2 per (4x) e otteniamo 8xy.
- • y⁵ ➔ È una normale potenza di y. La derivata è 5y⁴.
Risultato: ∂f / ∂y = 8xy + 5y⁴