Se fai lo "zoom" su un punto di una curva 2D liscia, questa ti sembrerà una linea dritta (la retta tangente). In 3D, se fai lo zoom su una superficie liscia, questa ti sembrerà piatta come un pavimento. Questo "pavimento virtuale" che appoggiamo sulla funzione in un punto specifico si chiama Piano Tangente.
L'Equazione del Piano Tangente
Trovare la formula di questo piano è facilissimo se conosci già il Gradiente (che abbiamo visto nella lezione precedente).
La Formula Magica
z = f(x₀,y₀) + ∂f/∂x(x - x₀) + ∂f/∂y(y - y₀)
Cosa significano i pezzi:
- • (x₀, y₀) è il punto sul pavimento in cui stiamo appoggiando il piano.
- • f(x₀,y₀) è l'altezza della montagna in quel punto.
- • Le ∂f/∂x e ∂f/∂y sono le derivate parziali (il gradiente) calcolate in quel punto esatto.
L'Inganno (La Differenziabilità)
Qui arriva la parte "cattiva" di Analisi 2. In Analisi 1 c'era una regola semplice: se una funzione è derivabile in un punto, allora in quel punto è anche continua (non ci sono "buchi"). In Analisi 2 questa regola è falsa!
⚠️ Il Paradosso
Potresti avere una funzione in cui puoi calcolare perfettamente sia la derivata in X che la derivata in Y... ma la funzione potrebbe essere bucata o spezzata in quel punto esatto!
Avere le derivate parziali significa solo che la montagna è liscia se ci cammini formando una croce (+). Ma in diagonale potrebbe esserci un burrone!
🛡️ La Soluzione
Per essere sicuri che la montagna sia "liscia" da qualsiasi direzione la si guardi, i matematici hanno inventato un concetto molto più forte e severo della semplice derivabilità: la Differenziabilità.
Se una funzione è differenziabile, sei autorizzato ad appoggiarci sopra il Piano Tangente in modo perfetto, senza che "dondoli".
Il Teorema del Differenziale Totale
Verificare la differenziabilità a mano (usando i limiti) è un incubo di calcoli lunghissimi. Per fortuna, c'è un teorema "salvavita" che userai nel 90% degli esercizi all'esame.
La Scorciatoia
Se riesci a calcolare le due derivate parziali (in X e in Y) e ti accorgi che queste derivate sono delle funzioni continue vicino al tuo punto, allora boom! La funzione di partenza è automaticamente differenziabile.
(E se è differenziabile, allora è sicuramente anche continua, e il piano tangente esiste per davvero).
Riassunto della catena logica:
- Derivabile (solo derivate parziali) ➔ NON BASTA per dire che è continua o che c'è il piano.
- Differenziabile ➔ SIGNIFICA che è continua, derivabile e ha un piano tangente perfetto.