Edu/Analisi 1/Continuità

Funzioni Continue

Il ponte tra i limiti e le derivate. Scopri la definizione formale e impara a riconoscere "salti", "asintoti" e "buchi" nel grafico.

Cos'è una funzione continua?

Fin dalle elementari ci hanno insegnato che una linea è continua se possiamo disegnarla senza mai sollevare la penna dal foglio. Ma come si traduce questa idea in matematica?

Serve un patto di ferro tra il limite e il valore reale della funzione. Una funzione si dice continua in un punto $x_0$ se il limite verso cui la funzione "tende" coincide perfettamente con il valore che la funzione "assume" realmente in quel punto.

La Formula Sacra

\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)

"Dove sto andando" = "Dove mi trovo realmente"

Le 3 Condizioni d'Oro

Affinché l'equazione qui sopra sia vera, devono verificarsi contemporaneamente tre eventi:

Il punto $x_0$ deve far parte del Dominio (cioè $f(x_0)$ deve esistere).
Il limite deve esistere (cioè limite destro e sinistro devono essere uguali e finiti).
Il limite e il valore $f(x_0)$ devono essere lo stesso numero.

I Punti di Discontinuità

Quando anche solo una delle tre condizioni d'oro fallisce, la penna si stacca dal foglio. In Analisi 1, classifichiamo queste "fratture" in tre categorie principali, chiamate Specie.

1ª Specie

Il "Salto"

Si verifica quando sia il limite destro che il limite sinistro esistono e sono numeri finiti, ma sono diversi tra loro. La curva arriva a una certa altezza, si interrompe bruscamente e riparte da un'altra altezza.

L_1 = \lim_{x \to x_0^-} f(x) \quad \neq \quad L_2 = \lim_{x \to x_0^+} f(x)

Ampiezza del Salto (S): È la distanza verticale tra i due punti. Si calcola come

S = |L_2 - L_1|

2ª Specie

Essenziale (L'Asintoto)

Si verifica quando almeno uno dei due limiti (destro o sinistro) è infinito ( $\pm\infty$ ) oppure semplicemente non esiste (come nel caso di alcune funzioni goniometriche oscillanti come $\sin(1/x)$ ).

\lim_{x \to x_0^\pm} f(x) = \pm\infty

Attenzione: Questo è il caso classico degli Asintoti Verticali (es. la funzione

1/x

x=0

3ª Specie

Eliminabile (Il "Buco")

Il caso più subdolo. Il limite destro e sinistro esistono, sono finiti e coincidono (il limite $L$ globale esiste!). La curva sembra perfetta. Tuttavia, proprio nel punto esatto $x_0$ , la funzione "salta" in un altro punto fuori dalla curva, oppure non esiste proprio.

\lim_{x \to x_0} f(x) = L \quad \text{ma} \quad f(x_0) \neq L

Perché "eliminabile"? Perché basterebbe ridefinire matematicamente la funzione aggiungendo il punto "mancante" per renderla perfettamente continua, tappando il buco.

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