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I Teoremi Fondamentali

I tre pilastri teorici dell'infinito. Impara gli enunciati e scopri le dimostrazioni formali passo-passo per dominare l'esame orale.

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Questi teoremi sono il pane quotidiano dell'esame orale di Analisi 1. Leggi l'enunciato per fissare il concetto, poi clicca sul pulsante per svelare la dimostrazione matematica rigorosa scritta con $\varepsilon$ e $\delta$ .

Unicità del Limite

Enunciato Ufficiale

Se una funzione $f(x)$ ammette limite $L$ (finito) per $x \to x_0$ , allora questo limite è unico.

Traduzione per umani: In parole povere: una funzione non può tendere a due valori diversi contemporaneamente. Se provi ad avvicinarti a un punto, non puoi arrivare in due posti diversi allo stesso tempo.

📐 La Dimostrazione

Si dimostra per assurdo.

Supponiamo per assurdo che esistano due limiti diversi: $L_1$ e $L_2$ , con $L_1 \neq L_2$ . Se sono diversi, la loro distanza è maggiore di zero: $|L_1 - L_2| > 0$ .
Scegliamo un $\varepsilon$ (epsilon) molto piccolo, specificamente più piccolo della metà della loro distanza:
$\varepsilon = \frac{|L_1 - L_2|}{3}$
Per la definizione di limite su $L_1$ , esiste un intorno di $x_0$ in cui: $|f(x) - L_1| < \varepsilon$ .
Per la definizione di limite su $L_2$ , esiste un altro intorno in cui: $|f(x) - L_2| < \varepsilon$ .
Nell'intersezione dei due intorni (dove valgono entrambe le regole), proviamo a calcolare la distanza tra i due limiti usando la disuguaglianza triangolare:
$|L_1 - L_2| = |L_1 - f(x) + f(x) - L_2| \le |L_1 - f(x)| + |f(x) - L_2|$
Sostituendo i valori di epsilon, otteniamo:
$|L_1 - L_2| < \varepsilon + \varepsilon = 2\varepsilon$
Ma noi avevamo scelto $\varepsilon = \frac{|L_1 - L_2|}{3}$ ! Quindi avremmo $|L_1 - L_2| < \frac{2}{3} |L_1 - L_2|$ , il che significa dire che un numero è strettamente più piccolo dei suoi due terzi. Questo è assurdo! L'ipotesi iniziale è falsa, il limite deve essere uno solo.

Permanenza del Segno

Enunciato Ufficiale

Se $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ e $L > 0$ (oppure $L < 0$ ), allora esiste un intero intorno di $x_0$ in cui la funzione $f(x)$ ha lo stesso segno del limite (cioè è strettamente positiva o negativa).

Traduzione per umani: Intuitivamente: se il 'traguardo' a cui stai tendendo è un numero positivo, man mano che ti avvicini al traguardo sarai per forza costretto a camminare in territorio positivo.

📐 La Dimostrazione

Dimostriamo il caso in cui $L > 0$ .

Scriviamo la definizione di limite. Per ogni $\varepsilon > 0$ , esiste un $\delta > 0$ tale che se $0 < |x - x_0| < \delta$ , allora:
$|f(x) - L| < \varepsilon$
Risolviamo il valore assoluto. Quella scrittura equivale a dire:
$L - \varepsilon < f(x) < L + \varepsilon$
Siccome la definizione di limite vale per *qualsiasi* epsilon, scegliamo furbamente $\varepsilon = L$ (che è legale, poiché $L > 0$ per ipotesi).
Sostituendo $\varepsilon$ con $L$ nella parte sinistra della disuguaglianza otteniamo:
$L - L < f(x) \implies 0 < f(x)$
Abbiamo appena dimostrato che esiste un intorno in cui $f(x) > 0$ , ovvero lo stesso segno del limite! (La dimostrazione per $L < 0$ è speculare, scegliendo $\varepsilon = -L$ ).

Teorema dei Carabinieri (Confronto)

Il significato grafico

Immagina due "carabinieri" (le funzioni esterne $h$ e $g$ ) che scortano un prigioniero (la funzione interna $f$ ). Se i due carabinieri entrano nella stessa caserma (lo stesso limite $L$ ), il prigioniero, essendo in mezzo, è costretto a entrarci con loro.

Enunciato Ufficiale

Siano $h(x)$ , $f(x)$ e $g(x)$ tre funzioni tali che in un intorno di $x_0$ valga la disuguaglianza:

h(x) \le f(x) \le g(x)

\lim_{x \to x_0} h(x) = L

\lim_{x \to x_0} g(x) = L

, allora necessariamente anche $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ .

Traduzione per umani: Questo teorema è letale quando devi calcolare il limite di una funzione complessa che contiene seni o coseni (che oscillano). Basta bloccarla tra -1 e 1 e calcolare i limiti esterni.

📐 La Dimostrazione

La dimostrazione sfrutta simultaneamente la definizione di limite per le due funzioni esterne.

Scegliamo un $\varepsilon > 0$ a piacere. Poiché $h(x)$ tende a $L$ , esisterà un intorno $I_1$ in cui:
$L - \varepsilon < h(x) < L + \varepsilon$
Allo stesso modo, poiché $g(x)$ tende a $L$ , esisterà un intorno $I_2$ in cui:
$L - \varepsilon < g(x) < L + \varepsilon$
Prendiamo l'intersezione dei due intorni ( $I_1 \cap I_2$ ). In questa zona, valgono entrambe le condizioni. Ricordando l'ipotesi $h(x) \le f(x) \le g(x)$ , possiamo unire tutto in una grande catena di disuguaglianze:
$L - \varepsilon < h(x) \le f(x) \le g(x) < L + \varepsilon$
Tagliando le funzioni esterne dalla catena, ci rimane proprio:
$L - \varepsilon < f(x) < L + \varepsilon$
Questa è esattamente la definizione formale di limite: $|f(x) - L| < \varepsilon$ . Quindi è dimostrato che $f(x)$ tende a $L$ .

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