Il problema fondamentale dell'ottimizzazione è trovare il punto più alto (Massimo) o più basso (Minimo) di una superficie. Il Teorema di Fermat vale anche in 3D: se ti trovi esattamente sulla cima di una montagna, il terreno sotto i tuoi piedi è perfettamente piatto (il piano tangente è orizzontale). In termini matematici: la pendenza è zero in ogni direzione.
Step 1: Trovare i Punti Critici
Per trovare dove la pendenza è zero, dobbiamo prendere il nostro fidato Gradiente (∇f) e imporre che sia uguale a zero. Questo significa creare un sistema in cui entrambe le derivate parziali si annullano contemporaneamente.
Il Sistema da Risolvere
∂f/∂x = 0
∂f/∂y = 0
Risolvendo questo sistema, troverai una o più coordinate (x₀, y₀). Questi sono i tuoi Punti Critici (i "sospettati"). Ma attenzione: essere un punto critico non garantisce di essere una cima!
Esiste un punto in cui il pavimento è perfettamente orizzontale (Gradiente = 0), ma non è né un massimo né un minimo. È il Punto di Sella (come il passo tra due montagne). Se vai in avanti scendi, ma se vai di lato sali! Come facciamo a smascherarlo? Con la Matrice Hessiana.
Step 2: La Matrice Hessiana (H)
Per capire la "forma" della montagna attorno al nostro punto sospetto, dobbiamo studiare la sua concavità. In Analisi 1 usavamo la derivata seconda. In Analisi 2, essendoci due variabili, abbiamo ben quattro derivate seconde! Le mettiamo tutte dentro una griglia quadrata chiamata Matrice Hessiana.
Come si costruisce l'Hessiana
Devi prendere le derivate prime e derivarle un'altra volta:
- f_xx: Derivi la ∂f/∂x ancora rispetto a X.
- f_yy: Derivi la ∂f/∂y ancora rispetto a Y.
- f_xy (Mista): Derivi la ∂f/∂x rispetto a Y.
- f_yx (Mista): Derivi la ∂f/∂y rispetto a X.
Teorema di Schwarz: Se le derivate seconde sono continue, le due derivate miste (f_xy e f_yx) sono identiche. Quindi calcolane solo una e copiala!
Step 3: Il Test del Determinante
L'ultimo passo! Prendi le coordinate del tuo Punto Critico e sostituisci i numeri dentro la matrice. Ora devi calcolare il Determinante dell'Hessiana (Det H).
Det(H) < 0
È sicuramente un Punto di Sella! Hai finito. Il punto non è né un massimo né un minimo.
Det(H) > 0
La superficie è una "conca". Abbiamo un Massimo o un Minimo locale! Per capire quale dei due, devi guardare il segno del primissimo elemento in alto a sinistra (f_xx):
- • Se f_xx > 0 (Positivo) ➔ La conca guarda verso l'alto. È un Minimo Locale.
- • Se f_xx < 0 (Negativo) ➔ La conca è rovesciata. È un Massimo Locale.
Det(H) = 0
Caso dubbio. Il test dell'Hessiano fallisce. Devi studiare il punto "a mano" analizzando le curve di livello o studiando il segno della funzione vicinissima al punto (una bella rottura di scatole all'esame!).