Cosa afferma il teorema di Fermat?

Il teorema di Fermat afferma che, se f è derivabile in un punto x₀ interno al dominio e x₀ è un punto di estremo locale (massimo o minimo relativo), allora f'(x₀) = 0. La condizione è necessaria ma non sufficiente: ad esempio, f(x) = x³ ha f'(0) = 0 ma 0 non è né massimo né minimo locale.

Cosa dice il teorema di Rolle?

Se f è continua su [a,b], derivabile in (a,b) e f(a) = f(b), allora esiste almeno un punto c ∈ (a,b) tale che f'(c) = 0. Geometricamente: se una funzione regolare assume gli stessi valori agli estremi, deve avere almeno una tangente orizzontale all'interno dell'intervallo.

Qual è l'enunciato del teorema di Lagrange?

Il teorema di Lagrange (o del valor medio) afferma che, se f è continua su [a,b] e derivabile in (a,b), allora esiste un punto c ∈ (a,b) tale che f'(c) = [f(b) − f(a)] / (b − a). In sostanza, esiste un punto in cui la pendenza della tangente coincide con la pendenza media della funzione sull'intervallo.

A cosa servono i corollari di Lagrange?

I corollari di Lagrange collegano il segno della derivata alla monotonia: 1) se f'(x) > 0 su un intervallo, f è strettamente crescente; 2) se f'(x) < 0, f è strettamente decrescente; 3) se f'(x) = 0 su un intervallo, f è costante. Sono il fondamento dello studio della monotonia tramite la derivata prima.

Edu/Analisi 1/Derivate

I Teoremi delle Derivate

Fermat, Rolle, Lagrange e Cauchy. I pilastri del calcolo differenziale e le regole d'oro (Corollari) per capire se una funzione sale o scende.

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Il trucco per l'esame: Questi teoremi formano una "scala". Le ipotesi iniziano quasi sempre allo stesso modo: la funzione deve essere continua nell'intervallo chiuso $[a,b]$ e derivabile nell'intervallo aperto $(a,b)$ .

Teorema di Fermat

L'intuizione grafica

Se stai camminando in montagna e arrivi sulla cima (punto di massimo), o in fondo a una valle (minimo), il terreno sotto i tuoi piedi per un istante sarà perfettamente piatto. Matematicamente: in un punto di massimo o minimo locale, la retta tangente è orizzontale.

L'Enunciato

Sia

f(x)

una funzione definita in un intervallo

[a,b]

e sia

x_0

un punto interno all'intervallo. Se

x_0

è un punto di massimo o minimo relativo, e se la funzione è derivabile in

x_0

, allora necessariamente

f'(x_0) = 0

Traduzione per umani: Se c'è una vetta dolce, la derivata in quella vetta vale per forza zero.

📐 La Dimostrazione

Dimostriamo il caso in cui $x_0$ sia un Massimo Relativo.

Poiché $x_0$ è un massimo relativo, esiste un intorno per cui $f(x) \le f(x_0)$ per ogni $x$ vicino. Quindi, se prendiamo un incremento $h$ , avremo sempre: $f(x_0 + h) - f(x_0) \le 0$
Rapporto incrementale per $h > 0$ (da destra): Il numeratore è $\le 0$ , il denominatore è positivo. La frazione è negativa o nulla: $f'_+(x_0) \le 0$
Rapporto per $h < 0$ (da sinistra): Il numeratore è $\le 0$ , il denominatore è negativo. La frazione è positiva o nulla: $f'_-(x_0) \ge 0$
Poiché la funzione è derivabile, derivata destra e sinistra coincidono. L'unico numero $\le 0$ e $\ge 0$ è lo zero. $f'(x_0) = 0$ .

Teorema di Rolle

L'intuizione grafica

Immagina di lanciare un sasso in aria. Parte da altezza zero e ricade a terra ad altezza zero. Essendoci una curva fluida, deve esserci stato un punto in cui il sasso si è fermato per un istante prima di ricadere (tangente orizzontale).

L'Enunciato

Sia $f(x)$ continua in $[a, b]$ e derivabile in $(a, b)$ .
Sia $f(a) = f(b)$ (stesso valore agli estremi).

Tesi (...Allora)

Allora esiste almeno un punto

c \in (a, b)

in cui la derivata si annulla: $f'(c) = 0$ .

Traduzione per umani: Se parti e arrivi alla stessa altezza, ci deve essere almeno un 'dosso' o una 'conca' in cui la pendenza si azzera.

📐 La Dimostrazione

Per il Teorema di Weierstrass la funzione ammette un Massimo assoluto $M$ e un Minimo $m$ .
Caso 1: Se $M = m$ , la funzione è costante (una retta piatta). In una retta piatta, la derivata è zero ovunque.
Caso 2: Se $M \neq m$ , poiché $f(a) = f(b)$ sui bordi, almeno uno tra il massimo e il minimo deve trovarsi all'interno dell'intervallo. Chiamiamo questo punto interno $c$ .
Per il Teorema di Fermat (che abbiamo appena dimostrato), se $c$ è un estremo interno e la funzione è derivabile, allora la sua tangente è orizzontale: $f'(c) = 0$ .

Teorema di Lagrange

L'intuizione grafica

Immagina di percorrere 100 km in autostrada in esattamente 1 ora. La tua velocità media è stata di 100 km/h (la pendenza della secante). Lagrange ci dice che deve esserci stato almeno un istante esatto in cui il tuo tachimetro (la velocità istantanea, ovvero la tangente) segnava esattamente 100 km/h.

L'Enunciato

Sia $f(x)$ continua in $[a, b]$ e derivabile in $(a, b)$ .

Tesi (...Allora)

Esiste almeno un punto

c \in (a, b)

in cui la pendenza della retta tangente è uguale alla pendenza della retta secante:

f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

Traduzione per umani: Ci deve essere stato almeno un istante in cui la tangente è perfettamente parallela alla secante.

📐 La Dimostrazione

Per dimostrarlo, usiamo il Teorema di Rolle. Dobbiamo "raddrizzare" il grafico creando una funzione che valga 0 ai bordi.

Inventiamo una funzione $g(x)$ (la differenza tra la curva $f(x)$ e la retta secante):
$g(x) = f(x) - \left[ f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) \right]$
$g(x)$ si annulla ai bordi ( $g(a) = g(b) = 0$ ). Per Rolle, esiste $c$ in cui $g'(c) = 0$ .
Deriviamo $g(x)$ . La retta ha derivata pari alla sua pendenza $m$ :
$g'(x) = f'(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
Sostituendo $c$ e imponendo $g'(c)=0$ , otteniamo esattamente la tesi.

✨

I Corollari di Lagrange

Lagrange non è solo un teorema astratto: ci regala tre regole d'oro che si usano in ogni singolo esercizio di Analisi per capire come è fatta una funzione.

Corollario 1: Costanti

L'Enunciato

f'(x) = 0

per ogni

x \in (a,b)

, allora la funzione è costante in quell'intervallo (

f(x) = k

Traduzione per umani: Se la tua velocità è sempre zero, significa che sei fermo nello stesso identico punto (linea piatta).

📐 La Dimostrazione

Prendiamo $x_1 < x_2$ . Applichiamo Lagrange a $[x_1, x_2]$ . Esiste $c$ tale che: $\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = f'(c)$
Per ipotesi $f'(c) = 0$ . Quindi il numeratore deve essere zero: $f(x_2) - f(x_1) = 0$ .
Dunque $f(x_1) = f(x_2)$ . Valendo per ogni coppia di punti, la funzione è costante.

Corollario 2: Parallele

L'Enunciato

f'(x) = g'(x)

in tutto l'intervallo, allora differiscono per una costante:

f(x) = g(x) + c

Traduzione per umani: Se due auto viaggiano sempre alla stessa velocità, la loro distanza rimarrà sempre uguale. Sono curve identiche, solo traslate.

📐 La Dimostrazione

Costruiamo la differenza: $h(x) = f(x) - g(x)$ .
La sua derivata è $h'(x) = f'(x) - g'(x) = 0$ (poiché le derivate sono uguali per ipotesi).
Per il Corollario 1, $h(x)$ è costante: $f(x) - g(x) = c \implies f(x) = g(x) + c$ .

Corollario 3: Monotonia

L'Enunciato

f'(x) > 0

, la funzione è crescente. Se

f'(x) < 0

, è decrescente.

Traduzione per umani: È la bussola per i grafici: derivata positiva = salita, derivata negativa = discesa.

📐 La Dimostrazione

Prendiamo $x_1 < x_2$ . Per Lagrange su $[x_1, x_2]$ esiste $c$ con $f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1)$ .
Sappiamo che $(x_2 - x_1) > 0$ .
Se $f'(x) > 0$ (ipotesi di crescenza), allora $f'(c) > 0$ . Positivo per positivo fa positivo.
Dunque $f(x_2) - f(x_1) > 0 \implies f(x_2) > f(x_1)$ . La funzione cresce!

Teorema di Cauchy

L'intuizione (Curve Parametriche)

Cauchy è l'esatta copia di Lagrange, ma applicato a una curva disegnata nel piano $(g(t), f(t))$ invece che nel piano $(x, y)$ . La frazione a sinistra è la pendenza della corda che unisce inizio e fine, quella a destra è la pendenza del vettore tangente. Esiste sempre un punto in cui la tangente è parallela alla corda.

L'Enunciato

Siano $f(x)$ e $g(x)$ due funzioni continue in $[a, b]$ e derivabili in $(a, b)$ .
Inoltre $g'(x) \neq 0$ per ogni $x \in (a, b)$ .

Tesi (...Allora)

Esiste un punto

c \in (a, b)

tale che:

\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}

Traduzione per umani: Se metti g(x)=x torni magicamente a Lagrange! È il teorema fondamentale che serve a dimostrare De L'Hôpital.

📐 La Dimostrazione

Costruiamo una funzione $h(x)$ che mescola le due originali:
$h(x) = f(x)[g(b) - g(a)] - g(x)[f(b) - f(a)]$
Sostituendo gli estremi notiamo che $h(a) = h(b)$ . Applichiamo il Teorema di Rolle: esiste $c$ in cui $h'(c) = 0$ .
Calcoliamo la derivata in $c$ : $h'(c) = f'(c)[g(b) - g(a)] - g'(c)[f(b) - f(a)] = 0$ .
Riordinando i termini e dividendo si ottiene la formula di Cauchy.

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