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Edu/Analisi 1/Derivate

Le Regole di Calcolo

Hai i mattoni, ora ti serve la malta. Scopri come derivare somme, prodotti, divisioni e l'insidiosissima "Regola della Catena" per le funzioni composte.

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Le Regole Facili (Linearità)

Partiamo con le buone notizie. La derivata è un operatore lineare. Questo significa che se hai una funzione formata da una somma di pezzi, o da pezzi moltiplicati per un numero fisso, puoi trattarli separatamente senza alcun problema.

La Costante Moltiplicativa

Se un numero moltiplica una funzione, "esce" fuori dalla derivata e aspetta comodamente che tu finisca il calcolo.

D[k⋅f(x)]=k⋅f′(x)D[k \cdot f(x)] = k \cdot f'(x)
Es: D[5x3]=5⋅(3x2)=15x2D[5x^3] = 5 \cdot (3x^2) = 15x^2

Somma e Sottrazione

La derivata di una somma è semplicemente la somma delle singole derivate. Nessun trucco nascosto.

D[f(x)±g(x)]=f′(x)±g′(x)D[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x)
Es: D[ex+sin⁡x]=ex+cos⁡xD[e^x + \sin x] = e^x + \cos x
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La Regola del Prodotto

Qui finiscono le cose facili. La derivata di un prodotto NON è il prodotto delle derivate. Se hai due funzioni moltiplicate tra loro, devi usare la famosa Regola di Leibniz.

Regola di Leibniz
D[f(x)⋅g(x)]=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)D[f(x) \cdot g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

"Derivata della prima per la seconda non derivata,
PIÙ
prima non derivata per la derivata della seconda."

Esempio Pratico

Calcoliamo la derivata di: y=x2⋅ln⁡(x)y = x^2 \cdot \ln(x)

  • f(x)=x2  ⟹  f′(x)=2x= x^2 \implies f'(x) = 2x
  • g(x)=ln⁡(x)  ⟹  g′(x)=1x= \ln(x) \implies g'(x) = \frac{1}{x}
y′=(2x)⋅ln⁡(x)+(x2)⋅(1x)y' = (2x) \cdot \ln(x) + (x^2) \cdot \left(\frac{1}{x}\right)
y′=2xln⁡(x)+xy' = 2x \ln(x) + x
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La Regola del Quoziente

Questa è la regola che fa consumare più gomme all'esame. È molto simile alla regola del prodotto, ma con un segno MENO al centro e un mostruoso denominatore elevato al quadrato.

Regola del Quoziente
D[f(x)g(x)]=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)[g(x)]2D\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}
⚠️ Attento all'ordine! Col segno meno, non puoi invertire i termini. Si parte SEMPRE derivando per prima la funzione che sta in alto!

Esempio Pratico

Deriviamo: y=sin⁡xxy = \frac{\sin x}{x}

  • Altosin⁡x  ⟹  cos⁡x\sin x \implies \cos x
  • Bassox  ⟹  1x \implies 1
y′=(cos⁡x)⋅x−(sin⁡x)⋅1x2y' = \frac{(\cos x) \cdot x - (\sin x) \cdot 1}{x^2}
y′=xcos⁡x−sin⁡xx2y' = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2}
La regola più importante di tutte

La Regola della Catena

Il 99% delle derivate che troverai all'esame non sono funzioni "pure" come sin⁡(x)\sin(x), ma funzioni composte come sin⁡(x2+1)\sin(x^2 + 1). Per derivarle, devi usare il metodo della Matrioska.

Il Teorema (Funzione Composta)

D[f(g(x))]=f′(g(x))⋅g′(x)D[\color{#60a5fa}f\color{white}(\color{#f472b6}g(x)\color{white})] = \color{#60a5fa}f'\color{white}(\color{#f472b6}g(x)\color{white}) \cdot \color{#f472b6}g'(x)

La Logica della Matrioska:

Immagina le funzioni come scatole cinesi. f\color{#60a5fa}f è la scatola esterna, g\color{#f472b6}g è la scatola interna.

  1. Deriva la funzione ESTERNA lasciando intatto quello che c'è dentro.
  2. Moltiplica tutto per la derivata della funzione INTERNA.

Esempio 1: sin⁡(x3)\sin(x^3)

  • 1. Fuori: Il Seno. La sua derivata è il Coseno. L'interno non si tocca: cos⁡(x3)\cos(x^3).
  • 2. Dentro: x3x^3. La sua derivata è 3x23x^2.
y′=cos⁡(x3)⋅3x2y' = \cos(x^3) \cdot 3x^2

Esempio 2: ln⁡(5x−2)\ln(5x - 2)

  • 1. Fuori: Il Logaritmo. La sua derivata "manda tutto sotto al denominatore": 15x−2\frac{1}{5x-2}.
  • 2. Dentro: 5x−25x - 2. La sua derivata è 55.
y′=15x−2⋅5=55x−2y' = \frac{1}{5x-2} \cdot 5 = \frac{5}{5x-2}
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Strumento Pratico

Metti in pratica le regole.

Inserisci la funzione più mostruosa che trovi sul libro nel nostro Calcolatore. L'IA applicherà la regola della catena, del prodotto e del quoziente svelandoti tutti i calcoli algebrici intermedi!

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