Regola fondamentale: Questi criteri funzionano SOLO se la serie è a termini positivi (cioè se per ogni ). Se ci sono dei segni "meno" mescolati, devi usare i criteri per le serie a segno alterno (nella prossima lezione).
Il Criterio del Confronto
È il criterio più intuitivo di tutti. Si basa sull'idea di paragonare la nostra serie "brutta" a una delle Serie Notevoli che abbiamo imparato nella lezione precedente (Armonica, Geometrica, ecc.).
Le due regole logiche:
- 🧱Il Soffitto (Convergenza)Se la tua serie è più piccola di una serie che Converge, allora è schiacciata verso il basso e Converge anche lei!
- 🚀Il Pavimento (Divergenza)Se la tua serie è più grande di una serie che Diverge, allora viene spinta verso l'alto ed è costretta a Divergere a .
L'Evoluzione: Il Confronto Asintotico
A volte è difficile dimostrare che una serie è strettamente maggiore o minore di un'altra. In tal caso, si usa il limite del rapporto:
Se il limite è un numero finito diverso da zero, significa che le due serie si comportano allo stesso modo all'infinito. Se una converge, converge anche l'altra. Se una diverge, diverge anche l'altra!
Criterio del Rapporto (D'Alembert)
Questo criterio è la tua arma segreta quando nella serie compaiono i Fattoriali () o gli Esponenziali (). Consiste nel fare il limite del rapporto tra un termine e il suo precedente.
Converge
I termini decrescono velocemente, la somma è finita.
Diverge
I termini crescono, la somma esplode a infinito.
Test Fallito
Il criterio non funziona. Devi usare un altro metodo.
Criterio della Radice (Cauchy)
Fratello gemello del Criterio del Rapporto. Si usa quasi esclusivamente quando TUTTA la funzione della tua serie è elevata alla .
Come si leggono i risultati?
Esattamente nello stesso identico modo del criterio del Rapporto!
- Se Converge
- Se Diverge
- Se Test Fallito (Boh!)