Nella lezione precedente abbiamo visto il caso più facile. Ma cosa succede se ti trovi davanti a un'equazione come y' + 3y = x? Se provi a spostare le y da una parte e le x dall'altra, ti accorgerai che è impossibile separarle a causa di quel "+" in mezzo. Questo tipo di equazione si chiama Lineare del Primo Ordine.
La "Forma Normale"
Prima di applicare qualsiasi formula, devi costringere la tua equazione a mettersi in una forma molto precisa. Devi scriverla in modo che ci sia la y' da sola, poi un blocco con la y, e infine tutto il resto dall'altra parte dell'uguale.
La Struttura Obbligatoria
y' + a(x)·y = b(x)
Chi sono i protagonisti?
- • a(x) è tutto ciò che sta moltiplicando la nostra "y" normale.
- • b(x) è tutto ciò che sta a destra dell'uguale (il cosiddetto "termine noto").
Attenzione: se davanti a y' c'è un numero o una x, devi dividere tutta l'equazione per quel valore prima di iniziare! La y' deve essere "pulita".
Il Fattore Integrante
Una volta individuati chi sono a(x) e b(x), non devi fare ragionamenti strani. Devi solo applicare meccanicamente la Formula Magica. È una formula un po' lunga, che utilizza un trucco chiamato "Fattore Integrante".
La Formula Risolutiva Universale
Ma chi è quella "A(x)" maiuscola?
Il Metodo Pratico (Il trucco per non sbagliare):
Non cercare di applicare tutta la formula in un colpo solo. Fallo a pezzi!
1) Calcola da parte l'integrale piccolo A(x) = ∫ a(x) dx (non mettere la +C qui).
2) Calcola il Fattore Integrante: fai "e" elevato al risultato appena trovato.
3) Inserisci tutto nella formula grande e risolvi l'integrale principale dentro le parentesi quadre.
Esempio: Risolviamone una
Mettiamo in pratica il metodo con un'equazione classica da esame: y' - 2y = e^(3x)
L'equazione è già nella forma normale perfetta.
- a(x) = -2 (Attento al segno meno!)
- b(x) = e^(3x)
Integriamo la a(x):
A(x) = ∫ (-2) dx = -2x
Sostituiamo tutto nella formula: y = e^(-A(x)) · [ ∫ e^(A(x)) · b(x) dx + C ]
y(x) = e^(-(-2x)) · [ ∫ e^(-2x) · e^(3x) dx + C ]
y(x) = e^(2x) · [ ∫ e^(x) dx + C ]
(Nota: per le proprietà delle potenze, e^(-2x) moltiplicato per e^(3x) fa e^(x))
Risolviamo l'ultimo facile integrale dentro la parentesi quadra (l'integrale di e^x è e^x):
y(x) = e^(2x) · [ e^x + C ]
Se vogliamo, possiamo moltiplicare aprendo la parentesi: y(x) = e^(3x) + C·e^(2x). Abbiamo trovato l'Integrale Generale!